MCUA, desplazamiento y aceleracion angular.

El movimiento circular uniformemente acelerado (MCUA) se presenta cuando una partícula o cuerpo sólido describe una trayectoria circular aumentando o disminuyendo la velocidad de forma constante en cada unidad de tiempo. Es decir, la partícula se mueve con aceleración constante.

En el dibujo se observa un ejemplo en donde la velocidad aumenta linealmente en el tiempo. Suponiendo que el tiempo en llegar del punto P₁ a P₂ sea una unidad de tiempo, la partícula viaja con una aceleración tangencial uniforme v, incrementándose esa cantidad en cada unidad de tiempo.

Posición

ANUNCIOS

El desplazamiento de la partícula es más rápido o más lento según avanza el tiempo. El ángulo recorrido (θ) en un intervalo de tiempo t se calcula por la siguiente fórmula:

Aplicando la fórmula del incremento de ángulo calculamos la posición en la que estará la partícula pasado un tiempo t se obtiene la fórmula de la posición:

Velocidad angular

La velocidad angular aumenta o disminuye linealmente cuando pasa una unidad del tiempo. Por lo tanto, podemos calcular la velocidad angular en el instante t como:

El sentido de la aceleración angular α puede ser contrario al de la velocidad angular ω. Si la aceleración angular es negativa, seria un caso de movimiento circular uniformemente retardado.

Velocidad tangencial

La velocidad tangencial es el producto de la velocidad angular por el radio r. La velocidad tangencial también se incrementa linealmente mediante la siguiente fórmula:

Dándose aquí igualmente la posibilidad de aceleración negativa que se ha descrito en el apartado anterior.

Aceleración angular

La aceleración angular en el movimiento circular uniformemente acelerado es constante. Se calcula como el incremento de velocidad angular ω desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el movimiento circular uniformemente acelerado MCUA se calcula como el incremento de velocidad v desde el instante inicial hasta el final partido por el tiempo.

Aceleración centrípeta

La aceleración centrípeta en el MCUA se halla mediante:

Componentes intrínsecas de la aceleración

La velocidad tangencial por la trayectoria en un punto P es v. En un intervalo de tiempo pequeño Δt, la velocidad incrementa a v’ en el punto P’, después de haber descrito un ángulo Δφ.

En la figura se puede ver el incremento de la velocidad tangencial Δv descompuesta en dos componentes: la tangencial Δv_t y la normal (o centrípeta) Δv_n.

Si dividimos ambas componentes de la velocidad por Δt, tendremos las componentes intrínsecas de la aceleración: la aceleración tangencial a_t y la aceleración normal a_n (o centrípeta).

Período

En el MCUA la velocidad angular cambia respecto al tiempo. Por tanto, el período cada vez será menor o mayor según si decrece o crece la velocidad angular.

Frecuencia

La frecuencia en el caso del MCUA es mayor o menor porque la velocidad angular cambia. La fórmula de la frecuencia será:

Ejercicios de movimiento circular con solución Movimiento circular uniforme (m.c.u.)  1) Una rueda de 50 cm de radio gira a 180 r.p.m. Calcula: a) El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 6 rad/s b) El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 9.42 m/s c) Su frecuencia. Resultado: f= 3 Hz S olu ció n 
2) Un CD-ROM, que tiene un radio de 6 cm, gira a una velocidad de 2500 rpm. Calcula: a) El módulo de la velocidad angular en rad/s Resultado: ω= 83.3 rad/s b) El módulo de la velocidad lineal de su borde. Resultado: v= 15.7 m/s c) Su frecuencia. Resultado: f= 41.66 Hz S olu ció n
 3) Teniendo en cuenta que la Tierra gira alrededor del Sol en 365.25 días y que el radio de giro medio es de 1.5 1011 m, calcula (suponiendo que se mueve en un movimiento circular uniforme): a) El módulo de la velocidad angular en rad/día Resultado: ω= 0.0172 rad/día b) El módulo de la velocidad a que viaja alrededor del SolResultado: v= 29861m/s c) El ángulo que recorrerá en 30 días. Resultado:  = 0.516 rad = 29° 33' d) El módulo de la aceleración centrípeta provocada por el Sol. Resultado: a= 5.9 10-3 m/s2 S olu ció n 
4) Calcular cuánto tiempo pasa entre dos momentos en que Marte y Júpiter estén sobre el mismo radio de sus órbitas (suponiendo que ambos se mueven con un movimiento circular uniforme). Periodos de sus órbitas alrededor del Sol: Marte: 687.0 días Júpiter: 11.86 año Resultado: t= 816.6 días S olu ció n

Movimiento circular, aceleracion y fuerzas centripetas

Movimiento Circular Uniforme (MCU)

Es el movimiento de una partícula que describe una circunferencia recorriendo espacios o arcos iguales en tiempos iguales. PARTES DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME Una vuelta a la circunferencia también se llama oscilación o revolución. Nota: Cada magnitud del MCU puede representarse de la misma manera en varias fórmulas diferentes, siendo cualquiera de ellas igualmente válidas. PERIODO. Es el tiempo que tarda la partícula en dar una vuelta completa. Se representa por "T" y se mide en segundos (seg): FRECUENCIA. Es la cantidad de vueltas que recorre la partícula en la unidad de tiempo (1 segundo). Se representa por "f" y se mide en 1/seg ó seg-1, que se llaman Herzios (Hz): 1 Hz = 1 seg-1 Entre el periodo y la frecuencia, se tiene que son inversos, o sea: VELOCIDAD. Existen dos tipos de velocidades: VELOCIDAD LINEAL: Es la velocidad propia de la partícula cuya magnitud es constante, pero su dirección cambia ya que siempre es tangente a la circunferencia. V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuenciaω = velocidad angular VELOCIDAD ANGULAR: Es el ángulo que se recorre en cierta cantidad de tiempo. Se representa con la lietra griega ω (omega minúscula), así: ω = velocidad angularθ = ángulo recorrido t = tiempo T = periodo f = frecuencia Observación: La Velocidad Angular también se llama Frecuencia Angular, ya que ambas se miden en Herzios o seg-1. ACELERACIÓN. En el MCU, la velocidad lineal permanece constante, y por lo tanto NO hay aceleración tangencial, sólo hay aceleración centrípeta: aC = aceleración centrípeta V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuenciaω = velocidad angular FUERZA CENTRÍPETA. Es la fuerza necesaria para producir un Movimiento Circular Uniforme (MCU). Su dirección es perpendicular a la velocidad lineal y está dirigida hacia el centro de la circunferencia: FC = fuerza centrípeta m = masa de la partícula  V = velocidad lineal R = radio de la circunferencia T = periodo f = frecuenciaω = velocidad angular El efecto de la Fuerza Centrípeta es cambiar la dirección de la velocidad lineal sin cambiar su magnitud, produciendo la Aceleración Centrípeta. Cuando una partícula con Movimiento Circular Uniforme (MCU) se suelta en un instante dado, ésta escapa por la línea tangente a ese punto y continúa con un Movimiento Continuo (MUC). Este escape se produjo por la acción de la llamada FUERZA CENTRIFUGA, la cual es consecuencia de la tercera ley de Newton (acción y reacción) de la Fuerza Centrípeta, es decir, mientras que la Fuerza Centrípeta apunta hacia el centro de la circunferencia, la Fuerza Centrífuga apunta en sentido opuesto, desde la partícula hacia el exterior. Ambas fuerzas, centrípeta y centrífuga, al poseer igual magnitud pero dirección opuesta, permiten que la partícula se escape con una dirección perpendicular a ellas, es decir, tangencialmente a la circunferencia. En la práctica, la fuerza centrípeta es la  de mayor atención y análisis, más que la fuerza centrífuga. TRANSMISIÓN DE CORREAS Y ENGRANAJES Los engranajes y poleas provistas de correas son máquinas que permiten transmitir el movimiento de rotación de una rueda a otra. Las ruedas o engranajes tienen velocidades lineales iguales. Si sus radios son de diferente longitud, se obtienen velocidades angulares distintas entre las ruedas, dadas por la expresión: ωA = velocidad angular de rueda o engranaje A RA = radio de la rueda o engranaje A ωB = velocidad angular de rueda o engranaje B RB = radio de la rueda o engranaje B De la fórmula, se deduce que: Las velocidades angulares de las dos ruedas son inversamente proporcionales a sus radios respectivos. En la transmisión del movimiento, aparece una Ventaja Mecánica (V.M.) entre las dos ruedas: Entre mayor sea la velocidad angular menor es la fuerza que ejerce la rueda y viceversa, a menor velocidad mayor fuerza. De este modo, la V.M. es la razón dada por la expresión anterior con respecto a dos ruedas o engranajes. Cuando un cuerpo describe una trayectoria curvilínea, el vector velocidad debe cambiar de dirección y sentido. La aceleración centrípeta es la encargada de ello. Pues bien, la fuerza centrípeta es la responsable de dotar a un cuerpo con dicha aceleración. La fuerza centrípeta es la responsable de dotar al cuerpo con aceleración normal. Su valor viene dado por: F→n=m⋅a→n=m⋅v2ρ⋅u→n Donde: F→n : Es la fuerza centrípeta. Se suele usar el subíndice n por que su dirección es normal a la trayectoria y de esta manera se la diferencia de la fuerza centrífuga. Su sentido, al igual que el de la aceleración centrípeta, apunta hacia el centro de curvatura. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el newton (N) m: Masa del cuerpo. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el kilogramo (kg) a→n : Aceleración normal o centrípeta. Su unidad de medida en el Sistema Internacional (S.I.) es el metro por segundo al cuadrado (m/s2) y su valor viene dado por an=v2/ρ siendo v la velocidad del cuerpo en ese punto ρ y el radio de curvatura Movimiento circular uniforme Podemos particularizar para el caso del movimiento circular uniforme, en el que, aunque su celeridad es constante, su vector velocidad cambia continuamente de dirección gracias a la aceleración aceleración normal. De acuerdo con las leyes de Newton, si dicho cuerpo posee aceleración quiere decir que se encuentra sometido a la acción de alguna fuerza. En concreto: En un movimiento circular uniforme o m.c.u., la fuerza centrípeta (ΣFn) es la fuerza responsable de dotar de aceleración centrípeta a un cuerpo. Tiene la dirección del radio de la circunferencia, sentido hacia el centro y módulo constante. No se trata de una fuerza en sí misma, si no que dependiendo del sistema, la fuerza centrípeta puede ser el peso, la tensión de una cuerda, etc. o generalmente la fuerza resultante de algunas de estas fuerzas. A la hora de estudiar la dinámica de este tipo de movimientos, es recomendable utilizar un sistema de referencia intrínseco, donde el eje normal será el eje X y el tangencial el eje Y. En este caso, la fueza centrípeta se obtiene por medio de la siguiente expresión. ∑Fn=∑Fx=m⋅an=m⋅v2R   ⋮    ∑Fy=0 Ejemplo Responde verdadero o falso a las siguientes cuestiones: a) En un m.c.u. la fuerza centrípeta se orienta hacia el centro de la circunferencia que describe su trayectoria. b) La fuerza centrípeta es una fuerza en sí misma. c) La fuerza centrípeta no depende de la masa del cuerpo sobre la que actúa. d) La fuerza centrípeta es una fuerza que únicamente se considera en movimientos curvos