Magnitudes escalares y vectoriales; propiedades
y operaciones
En los conceptos de mecánica que
desarrollaremos, nos encontraremos con dos diferentes tipos de magnitudes:
escalares y vectoriales. Las magnitudes escalares son aquellas que quedan
totalmente determinadas dando un sólo número real y una unidad de medida.
Ejemplos de este tipo de magnitud son la longitud de un hilo, la masa de un
cuerpo o el tiempo transcurrido entre dos sucesos. Se las puede representar
mediante segmentos tomados sobre una recta a partir de un origen y de longitud
igual al número real que indica su medida. Otros ejemplos de magnitudes
escalares son la densidad; el volumen; el trabajo mecánico; la potencia; la
temperatura. A las magnitudes vectoriales no se las puede determinar
completamente mediante un número real y una unidad de medida. Por ejemplo, para
dar la velocidad de un móvil en un punto del espacio, además de su intensidad
se debe indicar la dirección del movimiento (dada por la recta tangente a la
trayectoria en cada punto) y el sentido de movimiento en esa dirección (dado
por las dos posibles orientaciones de la recta). Al igual que con la velocidad
ocurre con las fuerzas: sus efectos dependen no sólo de la intensidad sino
también de las direcciones y sentidos en que actúan. Otros ejemplos de
magnitudes vectoriales son la aceleración; el momentum o cantidad de
movimiento; el momentum angular. Para representarlas hay que tomar segmentos orientados,
o sea, segmentos de recta cada uno de ellos determinado entre dos puntos
extremos dados en un cierto orden. Definición 1: Se llama vector a todo
segmento orientado. El primero de los puntos que lo determinan se llama origen
y el segundo extremo del vector. La recta que contiene al vector determina la
dirección del mismo y la orientación sobre la recta, definida por el origen y
el extremo del vector, determina su sentido. En la figura 1 se representa el
vector a sobre la recta r, de origen O y extremo P. En adelante los vectores
serán designados con letras mayúsculas o minúsculas en negrita. Definición 2:
Se denomina módulo de un vector a la longitud del segmento orientado que lo
define. El módulo de un vector es siempre un número positivo. Será representado
mediante la letra sin negrita o como vector entre barras: mód v = v = |v|.
Definición 3: Dos vectores son iguales (llamados equipolentes por algunos
autores) cuando tienen el mismo módulo y la misma dirección y sentido. En
figura 2 es a = b. Esta definición corresponde a lo que se denominan vectores
libres; o sea, vectores que pueden deslizar a lo largo de una recta y
desplazarse paralelamente a sí mismos en el espacio. Son los que nos interesan
y cumplen con las tres propiedades (reflexiva, simétrica y transitiva) que se
exigen a toda definición de equivalencia entre elementos de un conjunto. v O P
r Figura 1 Figura 2 b a 3 Componentes de un vector Para ubicar un objeto
cualquiera ya sea que esté en reposo o en movimiento rectilíneo, por lo general
utilizamos como referencia un punto fijo sobre la recta. Para ubicar un cuerpo
en reposo en un plano o describiendo una trayectoria plana, nos basta con dar
su distancia a dos rectas fijas del plano (perpendiculares entre sí para mayor
facilidad en los cálculos) que tomamos como referencia. De la misma forma, todo
punto del espacio queda determinado unívocamente mediante su distancia a tres
rectas fijas respectivamente perpendiculares entre sí. A este sistema de
referencia lo denominamos sistema de coordenadas cartesianas ortogonales de
origen O y ejes x, y, z. P1 (x1, y1, z1) y P2 (x2, y2, z2) son respectivamente
el origen y el extremo del vector a. Definición 4: Se denominan componentes de
un vector a respecto del sistema (O; x, y, z) a las proyecciones de a sobre los
ejes, o sea a los números 1 2 1 2 2 1 3 2 1 a = x − x a = y − y a = z − z En
general, pondremos a (a1, a2, a3) para indicar que a1, a2 y a3 son las
componentes del vector a. Estas componentes pueden ser números positivos o
negativos (más adelante veremos que pueden ser funciones de una o más
variables), pero siempre deben ser calculadas como diferencia entre las
coordenadas del extremo y las del origen del vector. Así, por ejemplo, dos
vectores opuestos (de igual módulo y dirección pero de sentidos opuestos)
tienen sus componentes iguales en valor absoluto pero de signos contrarios.
Como consecuencia de la definición anterior y de la definición general de
igualdad de vectores se deduce que dos vectores iguales tienen las mismas
componentes en cualquier sistema de coordenadas. Es más, los vectores y los
resultados de las operaciones entre ellos tienen un significado intrínseco,
independiente de cualquier sistema de coordenadas que por conveniencia se haya
introducido en el espacio. Esta es la propiedad esencial del cálculo vectorial
y lo que lo transforma en una herramienta tan potente. Dado que el vector es la
diagonal del paralelepípedo de figura 3, cuyas aristas son a1, a2 y a3, el
módulo del vector a es 2 3 2 2 2 1 a = a + a + a a1 a3 a2 P2 P1 z x y Figura 3
O a 4 Adición y sustracción de vectores Para sumar dos vectores a y b se
procede de la siguiente manera: a partir del extremo de a se lleva el vector b;
el vector cuyo origen es el origen de a y cuyo extremo es el extremo de b, es
el vector suma a + b. Al mismo resultado se llega tomando a y b con el mismo
origen y definiendo la suma como la diagonal del paralelogramo construido sobre
a y b, que pasa por el origen, tal como se muestra en la figura 5. Dado que la
suma de dos vectores a y b es otro vector c, las componentes del vector
resultante se obtienen mediante la suma de las componentes correspondientes: (
)( ) ( ) 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 1 1 2 2 2 3 3 3 a a ,a ,a + b b ,b ,b = c c ,c ,c ⇒
c = a + b c = a + b c = a + b → → → De esta definición se deduce que
la adición de vectores es conmutativa: a + b = b + a. El vector opuesto al
vector v(v1, v2, v3) se representa por –v; tiene el mismo módulo y dirección
que v pero sentido contrario. Sus componentes son -v1, -v2, -v3. Es inmediato
entonces que la diferencia u – v de dos vectores es igual a la suma del vector
u y del vector –v, opuesto a v. Por lo tanto las componentes del vector
diferencia u – v son las diferencias de las componentes, o sea 1 1 2 2 3 3 u −
v u − v u − v a b a b a + b Figura 4 a b a b a + b Figura 5 u v u u - v Figura
6 -v 5 Geométricamente, para sumar algebraicamente varios vectores basta
llevarlos sucesivamente de manera que el origen de cada uno coincida con el
extremo del precedente (figura 7). Analíticamente, el vector suma es el que
tiene por componentes las sumas de las componentes respectivas: v = a + b + c +
d i = 1, 2, 3 i i i i i La adición de vectores cumple las propiedades
conmutativa y asociativa en forma similar a la adición ordinaria entre números
reales. Los vectores pueden ser multiplicados por una magnitud escalar. Se
denomina producto λa del vector a por el escalar λ, al vector que tiene i) el
módulo igual al producto del módulo de a por el valor absoluto de λ; ii) la
misma dirección que a; iii) el mismo sentido que a si λ es positivo y sentido
opuesto si λ es negativo. Las componentes del vector λa son, por lo tanto 1 2 3
λa , λa , λa Ejemplo: En la figura 8 se muestran los vectores a, 3a, -2a y a/2.
Dado que a es el módulo del vector a (a = |a|), en el caso en que λ = 1/a, el
vector a/a será un vector de módulo unidad y de la misma dirección y sentido
que a. Definición 5: A los vectores de módulo unidad se los denomina versores.
A los versores se los indica comúnmente con una letra en negrita sobre la que se
coloca una v derecha o invertida, según el autor. En el texto serán indicados
en cada caso particular de forma tal que no haya lugar a dudas. Sea (O; x, y,
z) un sistema de coordenadas ortogonales (figura 9). Sobre cada uno de los
ejes, y con su sentido coincidente con el sentido positivo de aquellos, se han
superpuestos los versores i, j, k. Sus componentes son ( ) ( ) (0,0,1) ˆ i ˆ
1,0,0 ˆj 0,1,0 k y se denominan versores fundamentales. Todo vector a(a1, a2,
a3) puede ser entonces escrito en la forma d a b c v v = a + b + c + d Figura 7
a 3a -2a 0.5a = a/2 Figura 8 6 a a i a j a k ˆ ˆ ˆ = 1 + 2 + 3 r según las
reglas anteriormente establecidas para la adición de vectores y de
multiplicación por un escalar. Esta descomposición de un vector como suma de tres
vectores en la dirección de los ejes coordenados es muy importante y útil. Se
denomina descomposición canónica de un vector. Producto escalar y producto
vectorial Hay dos formas de multiplicar vectores entre sí: escalar o
vectorialmente. Definición 6: Se denomina producto escalar o interno de dos
vectores a y b al escalar obtenido como producto de los módulos de los vectores
por el coseno del ángulo que forman. Indicaremos el producto escalar con un
punto, de forma tal que será a . b = ab cosθ siendo θ el ángulo formado por los
dos vectores. Como consecuencia de la definición se obtiene que: i) el producto
escalar es conmutativo: a . b = b . a ii) la condición necesaria y suficiente
para que dos vectores sean perpendiculares (formen entre sí un ángulo de 90°)
es que su producto escalar sea nulo (pues cos90° = 0). iii) mediante las
componentes de los vectores a, b, el producto escalar entre ellos se expresa
como: 1 1 2 2 3 3 a • b = a b + a b + a b r r A esta expresión se llega a
partir de la definición de producto escalar. A fin de simplificar la
demostración, supongamos que los vectores a(a1, a2) y b(b1, b2) se encuentren
en el plano (x, y), figura 10. y k i j z x a a3 a1 a2 Figura 9 7 ( ) [ ] β α β
α β α β α θ β α a b asen bsen ab sen sen a b ab ab cos . cos . cos .cos cos cos
= + = + = • = = − = r r Pero 2 2 1 1 cos cos asen a bsen b a a b b = = = = β α
β α Reemplazando queda a b = a1b1 + a2b2 • r r Queda como ejercicio para el
estudiante la demostración con vectores del espacio. De esta propiedad se deduce
que: a (b c ) a (b c ) a (b c ) a (b c ) a b a c r r r r r s r • + = + + + + +
= • + • 1 1 1 2 2 2 3 3 3 . . . es decir iv) el producto escalar tiene la
propiedad distributiva. Además, al multiplicar un vector por sí mismo, se
obtiene: a . a = a2 = a2 v) para los versores fundamentales i, j, k, de módulo
unidad y perpendiculares entre sí, resulta: i . i = j . j = k . k = 1 i . j = i
. k = j . k = 0 Las dos orientaciones del espacio En la figura 11 se observa
que no hay forma de hacer coincidir los ejes del mismo nombre de un triedro,
con los del otro. En efecto, si se hacen coincidir los orígenes y los ejes x, y
de modo que se superpongan las partes positivas, con las partes positivas, los
sentidos de los ejes z resultan opuestos. Se dice que estos triedros tienen
distinta orientación. Definición 7: Un triedro (O; x, y, z) es positivo o
directo cuando colocando un tornillo (o un sacacorchos) normalmente al plano
(x,y) y girando la parte positiva del eje x hacia la parte y x a b θ β α O
Figura 10 a2 b2 a1 b1 O z x y y z x Figura 11 O 8 positiva del eje y, el
tornillo avanza hacia la parte positiva del eje z. En caso contrario el triedro
es negativo o inverso. El triedro de la izquierda en la figura 11 es positivo.
El criterio indicado no es el único para reconocer si el triedro es directo o
inverso, pero es uno de los más utilizados.
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